Al empezar, conviene a la Historia mirar: El isoperímetro en la Naturaleza.

Pappus de Alejandría y los panales de abejas.

Panal con una abeja y celdilla Panal con una abeja y celdilla Panal con una abeja y celdilla Panal con una abeja y celdilla
Las abejas construyen panales formados por cedillas en las que las abejas reina depositan huevos de los que nacerán otras abejas y la miel que elaboran todas las demás. Las celdillas tienen una forma prismática tremendamente interesante. El fondo está formado por tres rombos; así, cada cara puede usarse de forma muy práctica ya que lo mismo se aplica a la parte inferior del conjunto de celdas del lado opuesto. Estas caras rómbicas forman una esquina del rombidodecaedro o romboide de Kepler. La parte exterior de la celdilla tiene forma de hexágono regular. El primero en darse cuenta de la curiosidad matemática que habita en un panal fue el matemático Griego Pappus de Alejandría.
Un día como cualquier otro Pappus iba caminando y comenzó a pensar en las abejas. Su pensamiento pudo ser tan simple como este: ¿por qué guardan la miel en celdillas hexagonales si sería mucho más simple hacerlo en cuadrados?
Reflexionando sobre el tema se dio cuenta que al hacerlo de esta manera, las abejas lograban el máximo de eficacia: para construir una celdilla, cuyo volumen debe ser igual al de una abeja que debe introducirse en ella, gastaban la menor cantidad de cera posible. Geométricamente esto se considera como una de las variantes del problema de los isoperímetros, palabra que significa de igual perímetro.
Tras una serie de cálculos, Pappus logró demostrar que, entre los polígonos regulares que poseen el mismo perímetro, encierran más área los de mayor número de lados. Por otro lado, como la altura de una celda es constante por coincidir con el largo de una abeja, su volumen está perfectamente determinado: área de la base por la altura, aproximadamente. Además, el hexágono regular es el polígono regular de mayor número de lados con el que podemos formar un mosaico en el plano y los rombidodecaedros son poliedros con los que se puede formar un mosaico tridimensional. Conclusión: ¡todo encaja! Las abejas al construir las celdas de forma hexagonal por un lado y un trozo de rombidodecaedro por el otro consiguen:
1º Construir celdas que encajen bien unas con otras por arriba, por abajo y por los lados.
2º Cada celda tiene un volumen dado utilizando la menor cantidad de cera (de superficie) necesaria para construirla.
¡Maravillas de la Naturaleza!

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