Matemáticas
Números decimales
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© Itinerarium 2011

DIRECCIÓN: Narcís Vives
COLABORADORES:

  • PRODUCCIÓN EJECUTIVA: Antonio Cara
  • DIRECCIÓN CONTENIDOS: Mª Cristina Pérez y Magdalena Garzón
  • DIRECCIÓN TÉCNICA: Maite Vílchez
  • COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICAS: José Orenga
  • AUTORÍA: Josep Pons
  • CORRECCIÓN ESTILO VERSIÓN CASTELLANA: Anna Betriu y Joan Martín
  • ADAPTACIÓN EUSKERA: Bakun itzulpen eta argitalpen zerbitzuak, s.l.
  • MAQUETACIÓN: Maite Vílchez y Miquel Gordillo

Presentación

Presentación

Este curso ha tocado a vuestra clase organizar el bar que se abre en el recreo para todos los compañeros y compañeras del instituto.

En secretaría os han dejado 388€ en total. Deberéis cambiar, en el banco, este dinero por moneda para tener cambio cuando efectuéis una venta.

Para ello, le indicáis al cajero que queréis la misma cantidad de cada una de las monedas de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 céntimos de euro, y de 1 y 2 euros, pero además, debéis conseguir la máxima cantidad de monedas. ¿Qué cantidad os entregarán de cada una de las monedas?

En esta secuencia didáctica recordaremos lo que aprendisteis en cursos anteriores, pero sobre todo ordenaremos números decimales, aprenderemos a aproximar valores y a redondear cifras incómodas y, por supuesto, trabajaremos las operaciones en las que intervienen los números decimales.

Los números decimales

Decimales y fracciones

Operaciones con números decimales

RECURSOS

UN POCO DE HISTORIA

Explora, crea, publica y comparte

Actividad 1

Los números decimales

Aunque que a veces no seamos conscientes, utilizamos los números decimales constantemente en el lenguaje cotidiano y calculando con ellos. Mira esta presentación: Números decimales en la vida cotidiana.

Ahora vais a trabajar con ellos desde un punto de vista matemático. Recordaréis como se descomponen, aprenderemos a representarlos con precisión y veremos como se pueden clasificar en diferentes tipos.

Esto es lo que vamos a ver en esta actividad:

  • Ejemplos de la vida real del uso de números decimales
  • Parte entera y parte decimal
  • Representación de números decimales
  • Órdenes de unidades: décima, centésima y milésima
  • Comparación de decimales
  • Tipos de números decimales: exactos, periódicos (puros y mixtos), no exactos/no periódicos

EJEMPLOS DE LA VIDA REAL DEL USO DE NÚMEROS DECIMALES

Si nos paramos a pensar un poco, coincidiremos en que lo más habitual en nuestro vida cotidiana es usar números en los que el valor es una cifra NO entera:

  • María mide 1,43 m.
  • La temperatura máxima de hoy ha sido de 18,23 grados.

Actividad:

Seguro que podéis anotar en vuestros cuadernos cinco ejemplos de situaciones cotidianas en las que los números que usáis no son valores enteros exactos, escribidlos y luego los comentáis con los compañeros y compañeras.

Así, en nuestro día a día, son constantes las ocasiones en las que debemos combinar expresiones en las que usamos valores enteros y decimales. Según el caso, será mejor representar los valores en forma decimal o de fracción. Por este motivo, es muy importante que estéis habituados a pasar de una representación a la otra y que seáis rápidos en vuestros cálculos, por ejemplo, cuando os devuelven el cambio en la panadería, al calcular la distancia que os queda para llegar a casa, o cuanto tenéis que crecer para poder entrar en la atracción de un parque …

PARTE ENTERA Y PARTE DECIMAL

Un número decimal, como ya recordaréis, es un número que se compone de:

  • Parte entera: compuesta por las cifras que se encuentran a la izquierda de la coma decimal. Su valor, siempre que no sea un cero, será igual o más grande que la unidad.
  • Parte decimal: formada por las cifras que se encuentran a la derecha de la coma decimal. Siempre tiene un valor menor que la unidad.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Para poder manejar mejor un concepto, siempre será más fácil si somos capaces de representarlo.

Uno de los primeros inventos de la humanidad para representar valores enteros y decimales y realizar operaciones con ellos, fue el ábaco oriental.

Como recordaréis de actividades anteriores, se trata de una serie de varillas en las que insertamos una serie de bolas (diez en cada varilla), de esta forma cada varilla representa un orden de magnitud, las primeras para la parte entera y a partir de la que decidáis, para la parte decimal.

Vamos a trabajar un poco con el ábaco y a recordar los órdenes de magnitud de las cifras de un número decimal.

Ir a la actividad:

Ábaco

Pero la forma más habitual de representar todos los valores numéricos reales, es sobre una recta graduada que llamamos la “Recta de los números reales”. Como recordaréis, se trata de una recta sobre la que trazamos divisiones a intervalos precisos y regulares.

Ahora os proponemos que practiquéis sobre la recta de los números reales.

Ir a la actividad:

Recta real

ÓRDENES DE UNIDADES

Las cifras que encontramos a la derecha de la coma representan la parte decimal del número y, al igual que a las cifras de un número entero (el de la izquierda de la coma), les asignamos un valor según la posición que ocupan, sólo que en este caso el valor es “decimal”.

Si hubiera más cifras decimales, siguiendo el mismo criterio a continuación de las milésima, el valor de éstas lo indicaremos como: diezmilésimas, cienmilésimas, milmilésimas…

En la siguiente actividad os proponemos que identifiquéis correctamente la cifra transcrita:

Ir a la actividad:

Leer números

Y la descomposición, tal como habréis visto en la actividad “Ábaco” al activar “Mostrar descomposición”, sería:

  • 30,052 = 3 decenas + 0 unidades + 0 décimas + 5 centésimas + 2 milésimas
  • 30,052 = 3 · 10 + 5 · 0,01 + 2 · 0,001

Vamos a volver a la actividad del ábaco. Ahora vais a seleccionar un número decimal con el deslizador y las teclas de desplazamiento. Escribidlo en vuestro cuaderno y haced la descomposición. Cuando estéis seguros de lo que habéis escrito, activad la opción “Mostrar descomposición” y podréis corregir la actividad. Repetid el ejercicio, por lo memos hasta que consigáis cinco valores decimales correctos.

Ir a la actividad:

Ábaco

COMPARAR NÚMEROS DECIMALES

Para comparar números decimales, debemos diferenciar la parte entera de la parte decimal. De esta forma:

Comparamos la partes enteras, las que están a la izquierda de la coma decimal:

  • El que tenga la parte entera mayor, será el número más grande, ya no hace falta continuar con la parte decimal.
  • Si las partes enteras son iguales, deberemos continuar con las partes decimales.

Para comparar las partes decimales:

  • Lo haremos cifra a cifra empezando por la de mayor valor que, como acabamos de ver, es la que ocupa la posición de las décimas, luego seguiremos con las centésimas, y así sucesivamente.
  • El número mayor será entonces el que tenga la parte decimal más grande.
  • Recordad que los ceros a la derecha de la última cifra decimal no hacen variar el número.
  • Si al comparar cifras que ocupan el mismo orden de magnitud, encontramos que una es mayor que la otra, ya hemos encontrado la solución, no es necesario continuar aunque queden cifras de menor valor.

En la siguiente actividad os proponemos que comparéis algunos valores decimales:

Ir a la actividad:

TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES

Si reflexionáis unos instantes os daréis cuenta que, a menudo, en una división, el resultado casi siempre es un número decimal, lo más habitual es que así sea.

Según como sean las cifras de la parte decimal, distinguiremos tres tipos de números decimales:

  • Números decimales exactos: son aquellos en los que la cantidad de cifras en la parte decimal es finita, es decir, que si el número lo obtenemos como resultado de una división, el resto de esta división es 0.

    89,678987238   3,67   0,2   0,687

  • Números decimales periódicos: en estos números, las cifras de la parte decimal, a partir de una concreta, se repiten de forma indefinida. Por muchas cifras que escribáis no acabaréis nunca.

    8,05050505...   0.8765876587658765...   786,3333333333...

  • No exactos ni periódicos: son todos los demás. Para escribirlos, las cifras de la parte decimal no se acaban jamás.

    84,9762128917...   3,14159265358979323846...   2,7182818284590452354...

Además, los números decimales periódicos, los clasificamos en dos grupos:

  • Números decimales periódicos puros: cuando se repiten todas la cifras decimales a partir de la coma decimal

    7,6666666...   7,678678678678...   7,393939393939...   7,55555555...

    Para representarlos de una forma más simple, los números del ejemplo anterior se escribirán:

  • Números decimales periódicos mixtos: cuando, después de la coma encontramos una o más cifras decimales que no se repiten y a partir de una posición empiezan a repetirse.

    7,9876666666...   7,183678678678678...   7,539393939...   7,18374555555...

    Y en este caso, aplicando el mismo criterio que con los números decimales puros:

Como habréis observado, para que sea más fácil representar los valores periódicos, lo que hacemos es ponerle “un sombrero” encima de la cifras decimales que se repiten, pero sólo encima de las cifras decimales que se repiten.

¿Sabríais explicar porqué en el número decimal periódico puro, el sombrero cubre todas las cifras decimales? Escribid vuestra respuesta en la libreta y luego la comparáis con las de vuestros/as compañeros/as.

Vamos a practicar un poco:

Ir a la actividad:

Identificar

Calculadora

Haced clic en la imagen para utilizar la calculadora:

Y si tenéis dudas consultad este manual

Idea principal

Recordar conceptos aprendidos, representar, identificar, descomponer y comparar números decimales.

Saber más

Ábaco

http://www.wiseupkids.com/ informacion/abaco.html

Historia del ábaco

Actividad 2

Decimales y fracciones

Fuente: Imagen realizada para el proyecto Eskola 2.0

Ya sabéis perfectamente calcular el valor de una fracción. Ahora veréis como representar un número decimal en forma de fracción, y a simplificar números decimales.

De esta forma cuando tengáis que realizar cálculos, siempre usaréis la representación que resulte más adecuada y que os facilite la operación a ejecutar.


Contenido de la actividad:

  • Expresión de un número decimal exacto como fracción
  • Expresión de una fracción como número decimal
  • Representación de un número decimal en la recta real
    1. De forma precisa para un decimal exacto
    2. De forma aproximada para el resto de números decimales
  • Aproximación de números decimales
    1. Truncar
    2. Redondear
  • Ordenar números decimales

Expresión de un número decimal exacto como fracción

Podéis estar absolutamente seguros que un número decimal exacto (aquel que tiene una cantidad finita de cifras decimales), siempre se puede representar como una fracción. De hecho, en muchas situaciones es muy útil hacerlo, y por ello vamos a ver una técnica muy sencilla para pasar de la representación como número decimal a la representación como fracción.

Sólo requiere tres pasos:

  1. En el numerador escribimos el número completo pero sin la coma decimal.
  2. En el denominador escribimos la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número original.
  3. Finalmente sólo queda simplificar la fracción (recordad lo que vimos en la SD anterior).

Ahora os toca a vosotros/as practicar resolviendo algunos ejercicios.

Ir a la actividad:

Fracción

Para los números decimales periódicos puros y mixtos también existe una regla, pero ya la estudiaremos más adelante en próximos cursos.

Expresión de una fracción como número decimal

Ya sabes que el valor de una fracción, en ocasiones, es un número decimal.

Contestad en vuestro cuaderno las siguientes preguntas:

  • ¿Cómo se calcula el valor de una fracción? Poned un par de ejemplos.
  • ¿Por qué hemos dicho “en ocasiones” en la frase anterior? ¿En qué casos el valor de una fracción no es un número decimal? Y si no es un número decimal, ¿qué tipo de número es?
  • Si el valor de una fracción da como resultado un número decimal, ¿de cuántos tipos de decimales estamos hablando?

Vamos a afianzar nuestras ideas:

Ir a la actividad:

Fracción_como_decimal

Representación de un número decimal en la recta real

No, no habéis vuelto atrás y sí, ya habéis representado decimales en la recta real anteriormente, pero lo hicisteis con números decimales exactos. Ahora que ya conocemos mejor los diferentes tipos de números decimales, podréis representar tanto números decimales exactos, como periódicos y también todos los demás (no exactos ni periódicos).

La dificultad de los números decimales NO exactos se encuentra en que, por muchas cifras decimales que usemos, nunca serán suficientes y por lo tanto es difícil encontrar el punto exacto sobre la recta real.

Vamos a practicar la localización de números decimales no exactos ni periódicos sobre la recta real.

Ir a la actividad:

Número decimal no exacto

Para representar un número decimal exacto, bastará con que recordéis lo que ya hemos practicado antes.

Ir a la actividad:

Número decimal exacto

Como habréis comprobado la diferencia entre los dos casos, se centra en la precisión o exactitud con la que podéis escoger la posición del número decimal sobre la recta real.

Aproximación de números decimales

Cuando debemos manejar números decimales exactos pero que tienen muchas cifras decimales, o con los no exactos en los que, como habéis aprendido, sus cifras decimales no se acaban nunca, lo que hacemos es “aproximar” el valor del número por otro lo más parecido posible, pero con menos cifras decimales.

Y para aproximar un número decimal existen dos métodos:

Truncar: con este método lo que hacemos es quedarnos SÓLO con los “n” primeros decimales, es decir con las cifras decimales hasta un determinado orden de magnitud. Las cifras de orden de magnitud inferior, simplemente las eliminamos.

Por ejemplo, queremos aproximar el número 56,987346 truncando hasta las centésimas:

  • Las centésimas ocupan la segunda posición a la derecha de la coma.
  • Entonces despreciaremos todas las cifras, a partir de la tercera, hacia la derecha de la coma decimal.

El resultado será:


Redondear: con este método pretendemos ser un poco más precisos.

Al igual que en el método anterior, perseguimos quedarnos sólo con unas pocas cifras decimales, pero con un método:

  1. Se eliminan las cifras de una en una hasta quedarnos solamente con las que nos piden.
  2. Empezamos a eliminar por la de menor peso, la que está más a la derecha de la coma.
  3. Si la cifra que eliminamos es inferior o igual a 5, simplemente la despreciamos.
  4. Pero si es superior a 5 aumentamos en 1 unidad la que está a su izquierda.
  5. Repetimos los pasos b) c) y d) hasta quedarnos con las cifras deseadas

Por ejemplo, queremos aproximar el número 56,987346 redondeando hasta las centésimas:

Pensad y responded a las siguientes preguntas en vuestra libreta:

  • ¿Cuál de los dos métodos es más rápido de calcular?
  • ¿Obtenemos siempre la misma precisión en ambos casos?
  • ¿Si vuestra respuesta a la pregunta anterior ha sido negativa? ¿Cuál de los dos métodos ofrece mayor precisión?
  • La respuesta que habéis dado en la pregunta anterior ¿se cumple siempre? ¿existe algún caso en el que ambos métodos ofrecen la misma precisión? Poned ejemplos.
  • Si tenéis que comprar 2,5 metros de cuerda a 0,015 € el metro, ¿qué método de redondeo os interesa más? ¿y si sois vosotros/as quien lo vende?

Comparad vuestras respuestas con los/las compañeros/as.

Vamos a practicar con unos cuantos casos:

Ir a la actividad:

Aproximar

Ordenar números decimales

Para ordenar números decimales, sólo tendréis que aplicar lo que habéis aprendido y practicado hasta aquí. Os ofrecemos unos pocos consejos:

  • Cuando se os presente una lista desordenada de números decimales, deberéis localizar primero el mayor de todos, recordad lo que habéis visto en la actividad anterior cuando hemos comparado números decimales.
  • A continuación, debéis buscar el siguiente más grande de los que han quedado por ordenar y lo colocáis a la derecha, y así hasta el último.
  • Al final tendréis una lista ordenada de mayor a menor.

Ir a la actividad:

Ordenar

Calculadora

Haced clic en la imagen para utilizar la calculadora:

Y si tenéis dudas consultad este manual

Idea principal

Convertir números decimales a fracciones y viceversa, representar, aproximar y ordenar números decimales.

Actividad 3

Operaciones con números decimales

Existen diversas situaciones problemáticas que requieren, para su resolución, el manejo de algunas operaciones como la adición, la sustracción y la multiplicación.

Para resolver un problema es importante leerlo y comprenderlo, considerando qué se pregunta, qué datos se dan y, en base a estos elementos, determinar qué operaciones hacer. Una vez hecho esto se efectúan las operaciones y se responde la pregunta del problema.

Dependiendo de la naturaleza de los datos, se estará operando con números naturales o con números fraccionarios, como son los decimales.

En las operaciones con números decimales, la coma decimal es muy importante, como podréis ver a continuación.

Fuente:http://www.actiludis.com/?p=8751

Contenido de la actividad:

Operar con números decimales

  • Suma y resta
  • Multiplicación
  • División
    • Un decimal entre un natural
    • Un natural entre un decimal
    • Un decimal entre otro decimal

Suma y resta de números decimales

Para sumar o restar números decimales debemos tener cuidado con unas pocas reglas:

  • Se opera cifra a cifra que sean de igual valor.
  • Para ello escribimos en el papel un número encima de otro, haciendo coincidir las comas.
  • Si uno de los números tiene menos cifras decimales, añadimos ceros a la derecha de la última cifra hasta igualar las del otro. Recordad que los ceros a la derecha de la parte decimal no alteran el valor.
  • De esta forma ya podemos empezar por la cifra de menor peso, y seguir hacia la izquierda, de la forma acostumbrada.
  • Al final tendremos la precaución de colocar la coma en la misma posición de los números a operar.

Seguro que ahora con un ejemplo lo veréis perfectamente claro:

Ir a la actividad:

Sumar

Y en la resta procederemos de la misma forma:

Ir a la actividad:

Restar

Multiplicación de números decimales

MULTIPLICACIÓN “A MANO” DE NÚMEROS DECIMALES

Ver información.


MULTIPLICACIÓN USANDO CALCULADORA

Multiplicar números decimales usando calculadora es mucho más fácil que a mano. Vamos a recordar su uso. Podéis utilizar vuestra calculadora o la que hay aquí a la derecha.

Haced estas operaciones con la calculadora:

  • 12,345 x 2,25 =
  • 327,3 x 6,405 =

Solución.

Y un poco más sobre uso de la calculadora en la multiplicación:

  • ¿Por qué número tendría que multiplicar 2,256 para obtener 4,512? Averiguadlo con la calculadora y luego usadla para comprobar el resultado.
  • Y si queréis obtener 43,12 a partir de 20,18, ¿por qué número tendréis que multiplicar?
  • Multiplica 2,345 x 100. ¿Se parece el nuevo número al original? ¿En qué?
  • Ahora 45,3456 x 10.000. ¿Os parece fácil multiplicar por la unidad seguida de ceros?
  • Multiplica 34567,25 x 0,01, ¿Qué ha ocurrido?
  • Y 45,897 x 0,001. ¿Cómo se multiplicará por una décima, una centésima, una milésima, etc.?

A partir de ahora utilizad la calculadora para comprobar todos los cálculos que aparecen aquí y para realizar las actividades que se os proponen.


MULTIPLICACIÓN POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS

Efectivamente, se trata de multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000 y sucesivos.

Una sola regla (y media):

  • Se desplaza la coma hacia la derecha tantos ceros haya detrás de la unidad.

  • Si se acaban las cifras, se añaden ceros a la derecha de la última cifra para poder situar la coma.

59,87 x 1000 = 59870,0 = 59870
67,987 x 100 = 6798,7
1,70004 x 1000 = 1700,04

MULTIPLICAR POR 0,1 ó 0,01 ó 0,001 Y SIGUIENTES

Otra vez una regla y media:

  • También bastará con desplazar la coma, pero ahora hacia la izquierda.

  • Si se acaban las cifras, también se añaden ceros, pero en este caso a la izquierda de la primera cifra.

59,87 x 0,001 = 0,05987
6798,7 x 0,01 = 67,987
67,987 x 0,01 = 0,67987

Explicad en el cuaderno con vuestras palabras porqué se desplaza la coma decimal en un sentido u otro, según la multiplicación sea por 100 o por 0,001.

Comprobadlo aplicando la regla general para multiplicar números decimales.


Ir a la actividad:

Multiplicar

División con números decimales

DIVISIÓN “A MANO” DE NÚMEROS DECIMALES

Ver información.


DIVISIÓN USANDO CALCULADORA

Dividir números decimales usando calculadora es mucho más fácil que a mano. Vamos a recordar su uso. Podéis utilizar vuestra calculadora o la que hay aquí a la derecha.

Haz tú estas operaciones con la calculadora:

  • 1,253 : 32,25 =
  • 234,3 : 6,363 =

Solución.

Algunos ejercicios sobre división utilizando la calculadora:

  • ¿Por qué número tendría que dividir 4,512 para obtener 2,256? Averiguadlo con la calculadora y luego usadla para comprobar el resultado.
  • Y si queréis obtener 23,45 a partir de 432,35, ¿por qué número tendréis que dividir?
  • Divide 456,8 : 100. ¿Se parece el nuevo número al original? ¿En qué?
  • Ahora 42.234,56 : 10.000. ¿Os parece fácil dividir por la unidad seguida de ceros?
  • Divide 34,256 : 0,01, ¿Qué ha ocurrido?
  • Y 45,34 : 0,001. ¿Cómo se dividirá por una décima, una centésima, una milésima, etc.?

Y una curiosidad. Utilizad la calculadora:

  • Dividid el número 234,56 : 10
  • Ahora dividid el mismo número por 2
  • El resultado divididlo por 5
  • ¿Qué ha ocurrido? ¿Os ha dado el mismo resultado?

Por tanto: es lo mismo dividir por 10 que dividir sucesivamente por 2 y luego por 5,

¿Os parece lógico? ¿Tendrá algo que ver el hecho de que 10 = 2x5?
Y ¿cómo dividiría por 100?, ¿bastaría con dividir sucesivamente por 2, por 2 de nuevo, por 5 y otra vez por 5?

Discutidlo con vuestros compañeros y preguntar al profesor/a.

Seguid utilizando la calculadora para comprobar todos los cálculos que encontréis y para realizar las actividades que se os proponen.

División de un número decimal por la unidad seguida de ceros

  • Se desplaza la coma hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tenga el divisor.

  • Si se acaban las cifras se añaden tantos ceros a la izquierda como sea necesario para situar la coma.

56,87 : 10 = 5,687
4,6 : 100 = 0,046

División de un número decimal entre 0,1 ó 0,01 ó 0,001 y siguientes

  • Se desplaza la coma hacia la derecha tantas posiciones como decimales tiene el divisor

  • Si se acaban las cifras, se añaden los ceros que haga falta a la derecha.

56,87 : 0,1 = 568,7
4,6 : 0,1 = 460

Explicad en vuestra libreta con vuestras palabras porqué se desplaza la coma decimal en un sentido u otro, según la división sea por 100 o por 0,001.

Comprobadlo aplicando las reglas para la división con números decimales.

Ir a la actividad:

Dividir

Y ahora toca practicar una mezcla de todas estas operaciones, vamos a combinar unas cuantas operaciones alternadas:

Ir a la actividad:

Operar con decimales

El reto

Al presentar esta secuencia didáctica, os planteamos que para encargaros del puesto de bocatas del patio, debíais cambiar 388€ a moneda con una condición, conseguir la misma cantidad máxima de todos los valores de monedas:

Nosotros os ayudamos a plantearlo, y vosotros lo resolvéis, manos a la obra:

  • Os proponemos una forma sencilla de resolverlo: probando valores.
  • Copiad en vuestro cuaderno una tabla como esta e id probando hasta encontrar la solución ¿cuántas monedas de cada tipo nos darán? No olvidéis que han de ser el mismo número de monedas de cada tipo: 1 céntimo, 2 céntimos, 5 céntimos, 10 céntimos, 20 céntimos, 50 céntimos, 1 euro y 2 euros.
  • Os damos las dos primeras filas resueltas para que os resulte fácil.
  • No se trata de ir probando todos los números, sino de pensar cuál va a ser la solución mejor y probarla. Veamos quién de vosotros es el más rápido.

Nº de monedas

TIPOS DE MONEDAS

TOTAL

 

0,01€

0,02€

0,05€

0,10€

0,20€

0,50€

1€

2€

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3,88 €

2

2

2

2

2

2

2

2

2

7,76€

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

……

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Cuando hayáis encontrado la solución, descargad el siguiente documento y comprobad: reto.zip (.ods).

Calculadora

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Y si tenéis dudas consultad este manual

Idea principal

Familiarizarse con las operaciones con números decimales

Saber más

Curiosidad matemática

Curiosidad (.pdf)

El matemático que sólo sabía multiplicar y dividir por dos.

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Un poco de historia

John Napier (Neper) y los logaritmos

Nacido en el castillo de Merchiston, en Edimburgo (Escocia), (1550-1617) en el seno de una familia noble, heredó el título de Barón de Merchiston.

A los trece años, en 1563 comenzó sus estudios en la Universidad de Saint-Andrews, de la que salió años más tarde para viajar por el continente europeo.

De regreso a Merchiston en 1571 contrajo matrimonio al año siguiente, administrando a partir de entonces los bienes de la familia por encargo de su padre, al tiempo que continuaba sus estudios de matemáticas y teología.

Matemático y teólogo, protestante convencido, criticó enconadamente a la Iglesia católica y abogó por la persecución de “papístas, ateos y neutrales” en una carta dirigida al rey, Jacobo I, en la que le dedicaba su obra teológica “Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John”.

Jhon Napier
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/John_Napier

Aunque pasó a la posteridad por sus contribuciones en el campo de las matemáticas, para Napier era ésta una actividad de distracción siendo su preocupación fundamental la exégesis del Apocalipsis, a la que se consagró desde su estancia en el colegio. Fruto de esta labor fue su publicación antes citada (en castellano “Descubrimientos de todos los secretos del Apocalipsis de San Juan”), compuesta por dos tratados: uno en que busca y prueba la verdadera interpretación, y otro que aplica al texto esta interpretación parafrásticamente e históricamente. La originalidad de su estudio es la aplicación del formalismo matemático en la argumentación, de modo que admitiendo ciertos postulados, llega a demostrar sus proposiciones. Entre las muchas cosas que Napier “descubrió” en el “Apocalipsis de San Juan” cabe destacar que predijo el fin del mundo para los años 1668 a 1700.

Tablas de logaritmos usadas durante el siglo pasado hasta la generalización de las calucladoras.
Fuente: http://biblioeuitiupm.wordpress.com/

A pesar de la notoriedad que le procuraron las más de treinta ediciones de dicha obra y las curiosas predicciones que en ella hacía, el nombre de Napier había de quedar por siempre ligado al desarrollo de los logaritmos, un método matemático ideado con el objeto de simplificar el cálculo numérico que iba a ejercer una enorme influencia en todos los campos de la matemática aplicada. Napier tardó algo más de veinte años en madurar sus ideas iniciales, que publicó finalmente en 1614. Poco después, el matemático inglés Henry Briggs se desplazó a Escocia y convenció a Napier para modificar la escala inicial usada por éste; nacieron así los logaritmos de base 10, forma en la que se impusieron en toda Europa.


En 1614 Napier publica su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometría; ut etiam in omni logística mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi explicati , en la que da a conocer los logaritmos que él llamó números artificiales. En dicha obra promete una explicación que la muerte le impidió publicar, pero que fue añadida por su hijo Roberto en la segunda edición publicada en 1619.

Gracias a los logaritmos las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y las raíces por divisiones, lo que no sólo simplificó enormemente la realización manual de los cálculos matemáticos, sino que permitió realizar otros que sin su invención no hubieran sido posibles.

En su momento, esa propiedad de los logaritmos de simplificar las operaciones (convertir cada una en otra más sencilla) permitió un gran avance de la Astronomía y en nuestra época una mayor velocidad a nuestras calculadoras y a nuestros ordenadores.

En 1617 apareció su obra “ Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo: cum appendice expeditissimo multiplicationis promptuario, quibus accesit et arithmeticæ localis liber unus ”, en la que describe el ábaco neperiano,

Imagen: Estuche que contiene dos ábacos inventados por Neper
Fuente: http://www.artehistoria.jcyl.es/

Presentación

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MULTIPLICACIÓN “A MANO” DE NÚMEROS DECIMALES

La multiplicación es una operación con reglas mucho más sencillas:

  • Se multiplican los números como si fueran enteros, sin considerar la coma.
  • Para colocar la coma en el resultado se cuentan todos lo decimales de los dos números y se coloca la coma en la posición calculada.
  • ¡Y ya está!

Por supuesto, aquí tenéis el ejemplo:

Vamos a multiplicar 34,5 x 0,17


Solución

DIVISIÓN “A MANO” DE NÚMEROS DECIMALES

Para la división vamos a distinguir tres casos, pero tendréis que recordar todo lo que habéis aprendido sobre las fracciones, será muy útil:

NÚMERO DECIMAL ENTRE NÚMERO NATURAL :

  • Hacemos la división como si los dos fueran naturales.
  • Cuando “bajemos” la primera cifra decimal, colocamos la coma en el cociente.
  • Continuamos la división

Ejemplo:


NÚMERO NATURAL ENTRE NÚMERO DECIMAL:

  • Multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor (recordar lo que aprendisteis al estudiar las fracciones)
  • Realizamos la división normalmente,

y ahora ya se puede hacer la división entre números naturales.

Haced la división en vuestra libreta y el resultado deberá ser:

25,8064516 que podréis aproximar a la centésima.


NÚMERO DECIMAL ENTRE OTRO DECIMAL:

  • Multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Es la misma regla que en el caso anterior.

  • Realizamos la división normalmente,

y ahora ya podéis hacer la división como la del caso anterior.

Haced la división en vuestra libreta y el resultado deberá ser: 3,25.

Solución